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Le
contenu de cette page reprend et développe certains
éléments d'un cours magistral tenu devant des
étudiants de M1, dans le cadre de leur
préparation au
concours de recrutement du professorat des écoles. Nous commençons par le contenu du diaporama créé à l'occasion, ainsi que quelques déclinaisons : Les thèmes de mon exposé seront repris et donneront lieu à quelques ouvertures dans les puces à suivre ci-dessous. Sommaire du diaporamma alias plan du cours. A1/ Origine du
calcul
{Cliquez
sur l'un des
titres ci-dessus pour accéder directement à la
section} A2/ Qu'est-ce que le calcul ? A3/ Règles A4/ Disponibilités nécessaires A5/ Flexibilité du calcul B1/ La trilogie 2002 du calcul à l'école B2/ La refondation 2008 |
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A1/
Origine
du calcul La notion de calcul est très ancienne puisque on en trouve trace en Mésopotamie vers 8 000 ans av. JC et qu'on en a des preuves attestées dès la civilisation Sumérienne vers 3000 ans av. JC.
Deux éléments ont du peser lourd dans la balance : les algoristes n'avaient pas besoin de matériel, leur méthode pouvait être mise en œuvre par tout le monde à condition d'apprendre le calcul posé (déjà l'antienne sinon de la démocratisation du moins de la scolarisation) et, par ailleurs, cette méthode laissait des traces, permettant de s'interrompre et, peut-être plus sûrement, de contrôler ses calculs, donc de débusquer d'éventuelles erreurs.
On invoquera aussi facilement nos habitudes de comptage avec la main, encore au XXI-ième siècle.. D'une certaine façon, la main fut sans doute l'une des plus anciennes machines de calcul que l'homme ait enventé. On en peut en faire une lecture moderne (inspirée de l'informatique) : nos doigts tiennent lieu de registre d'affichage (je montre 7), de registre-mémoire (et je retiens 2), de registre calcul (et j'ajoute 3).
En résumé : 1/ le mot calcul trouve son origine dans le mot latin calculus/calculi qui désignait un/des petit/s caillou/x. {C'est aussi pour cela que nos reins sont susceptibles de souffrir de calculs dit rénaux.} 2/ faute de système de notation efficace, l'homme inventa très tôt des machines pour faciliter ses calculs. Il n'est donc pas étonnant que les calculettes (des téléphones notamment) aient été adoptées si rapidement. 3/ ce n'est qu'à la Révolution Française que l'on voit une convergence du système d'écriture décimal et d'un système d'unités de mesure cohérent et régulier. L'essor des machines de calcul est alors incontournable. Pour aller plus loin A défaut de présenter une bibliographie, beaucoup trop vaste, j'indique quelques adresses de site qui m'ont semblées mériter la visite. Sur l'histoire des nombres et du calcul : http://www.math93.com/histoire-nombres.htm http://serge.mehl.free.fr/chrono/Gerbert.html http://promenadesmaths.free.fr/histoire_arithmetique.htm Sur la querelle des albacistes et des algoristes : http://www.encyclopedie-universelle.com/abaque-calcul9-renaissance-XIXeme.html Sur l'histoire des instruments et machines à calculer ainsi que sur leur analyse : http://www.math.ens.fr/culturemath/materiaux/poissard/fiche1.pdf http://www.math.ens.fr/culturemath/materiaux/poissard/fiche4.pdf (histoire des bâtons de Neper) http://nathalierun.net/passions/boulier/histoire.htm (Une présentation du/des boulier/s parmi tant d'autres) Sur l'histoire des unités de mesure : http://croac.chez-alice.fr/Pensees/Unites.htm http://passionmedievale.sixieme-cercle.com/donjon/historia/mesure-et-outils.html http://fr.wikipedia.org/wiki/Unit%C3%A9s_de_mesure_anciennes_%28France%29 Vous trouverez sur mon site des explications et des simulateurs des outils de calcul suivants :
Je clos cette section avec l'image d'un instrument irremplaçable jusque dans les années 1980 : la règle à calcul ! Ne fut
définitivement abandonnée par son fabricant qu'en
1990.
Voir une présentation rapide par un club de maths de l'outil "Règle à calculs" ici : http://clgdrouyn.fr/La-regle-a-calcul.html |
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A2/
Qu'est-ce que le calcul ?
Dans la langue courante, quand il ne s'agit pas d'une affection biliaire ou urinaire, le calcul: désigne -selon Littré- tout type d'opération par laquelle on trouve le résultat de la combinaison de nombres ou de quantités. D'où les locutions "calcul exact", "calcul faux", ou très fréquemment "sauf erreur de calcul". Un résultat est escompté, qui permette de prendre une décision : "de calcul fait" à rapprocher de "tous comptes faits". Plus largement, le calcul désigne l'ensemble des moyens qu’on combine, des mesures qu’on prépare en vue du succès d’une affaire. Le sens peut devenir négatif voire péjoratif : "Il a agi par calcul", "Il a fait un mauvais calcul.", "Cela n’entre pas dans mes calculs.", "Il a déjoué tous les calculs.". Le calcul tient alors du stratagème, "il est mûrement pensé", ou de la machination, "un calcul diabolique", comme seul un esprit calculateur peut en mettre au point. On retrouve bien dans toutes ces expressions la défiance populaire à l'égard du calcul perçu comme la science des nombres. Mais le calcul s'apprend parce qu'il s'enseigne, et, souvenir du temps où les candidats à un poste de précepteur ou d'enseignant dans les petites écoles rurales circulaient porteurs d'un chapeau avec une, deux ou trois plumes, selon le degré de ses compétences (il pouvait savoir enseigner la lecture, la lecture et l’écriture ou la lecture, l’écriture et le calcul), dans toute école on doit apprendre le français, l'histoire et le calcul.Pas un ministre de l'Education d'oublier de rappeler cet adage lors de sa prise de fonction ! Sur l'histoire du chapeau à plumes, voir sur le site de lyon-2. Un livre portant sur ce thème avait été publié en 2002 puis 2007 : Les carnets d'un maître d'école autrefois. Trois plumes au chapeau par Clément Brun chez Fontaine de Siloé éditeur, ISBN 2-84206-192-6. Il est malheureusement devenu indisponible.} Fermons ce paragraphe dévolu à la recherche du sens courant du mot calcul en remarquant le poids de ce petit mot dans l'inconscient collectif. Il est beaucoup plus difficile de donner une définition acceptable par la communauté des mathématiciens du mot calcul. Osons cependant : En
mathématique, un calcul est une combinaison
d’objets
mathématiques (représentés par des
symboles)
obtenue grâce à des opérations, selon
des
règles précises, afin d’obtenir un
résultat.
Les objets
sont pour
nous, candidat(e)s au CRPE, les nombres -entiers, décimaux,
rationnels, réels- qu'ils soient exprimés sous
formed'une
valeur ou d'une expression littérale.Exemples : calcul algébrique, barycentrique, vectoriel, tensoriel, différentiel, intégral, propositionnel, formel, trigonométrique, matriciel, exponentiel, booléen, statistique, binaire, numérique approché ou non ... Les opérations sont les opérations classiques : addition (et soustraction), multiplication. On y ajoute improprement la division. Voir sur ce point sous l'onglet [Opérations]. L'art du mathématicien est de savoir utiliser le calcul approprié à un instant donné, quitte à changer de cadre lorsque cela est nécessaire. J'en donne des exemples à la section A5. Pour nous, candidat(e)s au CRPE, le calcul est essentiellement numérique, mais il peut recouvrir trois formes.
Pour être bien conduit, le calcul suppose un certain nombre de connaissances et de capacités. ¤
Compréhension de notre système de
numération décimale de position :
valeur
des chiffres selon leur position
notamment pour la maîtrise d'algorithmes efficaces (gestion
des
retenues, règle des zéros ...)conversion 10 pour 1 ¤ Compréhension qu'une valeur peut être exprimée de plusieurs façons :
propriétés,
syntaxe des opérations Cf.
section A3
¤
Nécessaire disponibilité de
répertoires :tables, formules, coups de
main Cf.
section A4
¤
Grande flexibilité, c'est-à-dire la
possibilité de changer de cadre Cf. section A5 |
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A3/ Règles
On calcule avec deux opérations : + (-) et × Pour une étude plus précise, glisser sous l'onglet [Opérations]. Ces deux
opérations sont commutatives
:
a + b = b + a a × b = b × a Elles sont aussi associatives : a + (b + c) = (a + b) + c a × (b × c) = (a × b) × c L'une est distributive par rapport à l'autre : a × (b + c) = a × b + a × c Illustrations : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 1 + 4 + 2
+ 3 + 5 = 3 x 5 = 15
14 x 15 = 7 x 2 x 3 x 5 = 3 x 7 x 2 x 5 = 21 x 10 = 210 51 × 15 = 50 × (10 + 5) + 15 = 500 + 250 + 15 = 765 On peut donc simplifier : Expression1 + k = Expression2
+ k <=> Expression1 = Expression2
Les opérations sont
compatibles avec la relation d'ordre :k × Expression1 = k × Expression2 et k non nul <=> Expression1 = Expression2 a < b => a +
c < b + c et de même si les
inégalités sont au sens large.
Gestion
des écritures multiplicativesMais attention : a < b et c > 0 => a.c < b.c et de même si les inégalités sont au sens large. a < b et c < 0 => a.c > b.c et de même si les inégalités sont au sens large. Attention encore, quand on élève au carré : a < b => a2 < b2 et de même si les inégalités sont au sens large. Mais : a2 < b2 => |a| < |b| et de même si les inégalités sont au sens large. Définitions :
an = a × …
× a {n termes} a1/n
= b <=> bn = a
a-n = 1/an =
(1/a)n a1/2
= √a
En particulier, la racine d'un produit de nombres positifs est le produit des racines de ces nombres. Idem pour un quotient. Propriétés : ap × aq = a(p + q) ap / aq = a(p - q) (ap)q = a(p × q) an
× bn = (a.b)n
an / bn
= (a/b)n
Mais attention (a + b)n
n'a jamais été égal à an
+ bn ! Pour s'en souvenir, penser aux
identités remarquables.
Simplification des écritures fractionnaires a/b × c/d =
ac / bd et
a/b ÷ c/d = a/b
× d/c = ad / bc en sorte que (k.P)/(k.Q) = P/Q.
Dénominateur
communCas des échafaudages : Attention aux expressions ambigües. Ainsi, une expression a/b/c peut être considérée comme la fraction a/b divisée par le nombre c ou comme le nombre a divisé par la fraction b/c. Dans le premier cas on obtient la fraction a/bc, dans le second la fraction ac/b. Testez avec l'écriture 3/4/5. Selon votre interprétation, vous trouverez 0,15 ou 3.75 ... a/b + c/d = (ad + bc)/bd et
a/b - c/d = ((ad - bc)/bd Voir conseil méthodo n°2.
Attention : la fraction (a + b)/(c + d) ne se laisse pas décomposer en la somme de a/c et de b/d en général ... |
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A4/
Disponibilités nécessaires
Un bon calculateur, qu'il s'agisse d'un calcul mental, réfléchi ou instrumenté, connait ses tables d'addition et de multiplication. Les tables
sont sues (sous la forme
Table de Pythagore) au moins jusqu'à 15 + 15 et
12 × 12.
Il sait circuler parmi les tables qu'il structure autour des deux diagonales : ¤ pour
l'addition les nombres qui font 5, 10, 15, 20
Il
sait ses doubles, ses presque-doubles, les quintes et sans doute les
triples.et ceux dont l'écart est de 5, 10, 15, 20 ... ¤ pour la multiplication, les carrés parfaits, les produits juste avant, juste après, juste en dessous, juste en dessus ... Il connait les équivalences 2 × 5 = 10 4 × 25 = 100 8 × 125 = 1 000 et peut-être aussi 16 × 625 = 10 000 {Tous ces points sont développés sous l'onglet [Opérations]} Un bon candidat connait par ailleurs la table des nombres premiers au moins jusqu'à 37, voire 53. A défaut, il sait la reconstruire rapidement en circulant dans la liste des nombres de la forme 6×k ± 1. Pour mémoire, voici cette liste jusqu'à 150 : 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31
37 41 43
47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127
131 137 139 149
{Vous
trouverez sur ma page ArithRevo.htm
un logiciel (PC uniquement) permettant de retrouver cette liste, entre
autres.}
Cliquez sur l'imagette ci-dessus
pour charger un formulaire bien commode
(un recto au format A4).Ce formulaire contient par ailleurs un rappel sur les applications basiques du théorème de Pythagore : longueur de la diagonale d'un carré en fonction du coté et mesure de la hauteur dans un triangle équilatéral. Deux-plus une- identités remarquables (soit trois et seulement trois !) pour le concours. En voici une vision géométrique :
On calcule mieux (avec moins d'erreurs), plus vite et plus longtemps quand on est méthodique. Principe méthodo
n°1 : Diviser pour mieux régner !
Dans une expression complexe, on isole les termes, quite à les nommer, on les calcule séparément puis on effectue la synthèse de tous ces calculs partiels. Illustration : Principe méthodo
n°2 : Aller vers le maximum de simplification avant de calculer
:
->
On rend irréductibles les fractions, on cherche toujours les
plus petits dénominateurs communs (via le ppcm).
Illustration : Illustration :
Entrainez-vous : analysez la figure ci-dessous et calculez l'aire du triangle équilatéral. Eléments de
solution
: Soit a la longueur du côté du triangle
équilatéral. On sait calculer la hauteur
: h = a *
Rac(3) / 2 où Rac désigne la racine
carrée. L'aire
vaut donc A = a2 * Rac(3) / 4. Maintenant :
Observez bien
les demi-cercles posés à la base ; celle-ci
mesure 1 +
Rac(5), où Rac(5) désigne la racine
carrée
de 5. On calcule le carré, soit a2 =
2 * (3 +
Rac(5)) et on en déduit la valeur exacte de l'aire : A = (3
+
Rac(5)) * Rac(3) / 2. Valeur approchée : Avec une calculette
simple, on trouve la valeur de 4,534567884. On arrondit avec bon sens.
Ainsi, si l'unité était le centimètre,
une
précision linéaire au mm semble acceptable,
d'où
une précision au mm2 ; une
valeur acceptable de l'aire en cm2 est 4,5346 (
on a arrondi au mm2 supérieur).
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A5/
Flexibilité du calcul
Principe méthodo n°5 : Il y a toujours plusieurs façons de s'y prendre. En général, l'une des méthodes se révèle plus efficace ! Voici quatre illustrations de ce principe :
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B1/
La trilogie 2002 du calcul à l'école
Les programmes 2002 introduisent une réflexion de fond sur le calcul. Certains aspects sont développés dans des documents d'application ou d'accompagnement. On retiendra :que le calcul peut-être automatisé, réfléchi, instrumenté. Bien entendu, à l'école primaire, il n'y a pas d'autre calcul que numérique ! Cf. supra. L'opposition "calcul exact" / "calcul approché" n'apparait pas directement dans ces textes, et ce pour deux raisons : 1/ le calcul exact suppose une capacité algébrique (nomination de grandeurs, appels à, et calculs sur, des variables symboliques ...) et 2/ le glissement au calcul approché suppose une maitrise des nombres (des types de nombres) manipulés, ce qui n'est pas encore le cas, même pour des élèves de CM2 : pour ne prendre qu'un exemple, toute discussion sur le nombre Pi et ses approchantes -3,14 22/7 355/113 - risque d'être de peu d'effets. En revanche, la notion de précision d'un calcul - sous couvert d'emploi d'une calculette- et donc celle de calcul approchée sont prises en charge à l'occasion de la définition des calculs réfléchi ou instrumenté. Voici quelques commentaires très rapides, le fond du sujet devant être abordé dans la page [Calcul mental ou réfléchi]. Le calcul automatisé : ¤ s'appuie sur
des automatismes de calcul
Exemples
de calculs en ligne :¤ suppose une restitution immédiate de tables (au sens large) dans le cas de calculs simples ¤ passe par des calculs en ligne quand c'est possible... ¤ ... ou des calculs en colonne sinon. On voit que la maitrise des algorithmes opératoires -les fameuses opérations posées- reste incontournable. 25 x 8 mais pas 25 x 7 (qui
relèvera du calcul réfléchi : 700
divisé par 2 deux fois).
Le
calcul réfléchi :27 + 32 voire 65 + 48 mais pas 578 + 1046. 102 + 612 mais pas 671 + 549. 4824 ÷ 12 ou 33033033 ÷ 11 mais pas 7171 ÷ 17 ... ¤ s'appuie sur
certains automatismes de calcul, mais pas
nécessairement tous. D'où 3 remarques :
Illustration
: un élève qui ne se souvient plus du
résultat de
7x8 peut profiter de la distributivité pour calculer 7x7 +
7. De
même, toute la table de 9 se retrouve grâce
à la
soustraction : 9 fois 17, c'est 170 moins 17, et donc 173 moins 20 ...1/ L'élève peut donc reconstituer des faits numériques manquant en s'appuyant sur les propriétés connues des opérations. 2/ les démarches de calcul sont en général diverses. C'en est même l'intérêt sur le plan pédagogique. 3/ Le calcul mental appartient à cette catégorie, étant entendu que la capacité de l'enfant à restituer des faits numériques devient prépondérante (l'apprentissage des tables reste de mise). Le calcul instrumenté : ¤
intègre l'ensemble des dispositifs de calcul -dits modernes : calculatrice,
ordinateur (tableur).
¤ libère le calculateur a priori, ou lui donne plus de pouvoir, à condition de maîtriser ... D'où 3 axes de travail avec les élèves : 1/ la maitrise de ces outils de calcul soulage dans le cas de la résolution de problèmes, à condition d'en contrôler l'usage ; 2/ on tient là des outils puissants d'exploration de faits numériques ; 3/ on peut proposer ces outils aux élèves à titre d'outils de vérification ou même de support d'exercices, par exemple lors de séances de calcul réfléchi. |
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B2/
La refondation
2008 On ne se livrera pas ici à une analyse des textes 2008. On se contente de noter que ceux-ci ont profondément modifié les orientations précédentes. Un indice : les textes maigrissent, les documents annexes, écrits par des experts associés à la réflexion du Ministère disparaissent, comme les experts d'ailleurs. On se contente de repérer que ces textes mettent l'accent sur : ¤
le calcul mental (dans un sens restrictif) ;
Autant
les textes 2002 pariaient sur l'intelligence et les
capacités
calculatoires des enfants, en comptant sur un fort investissement des
enseignants, autant les textes 2008 semblent appeler une
obligation de résultats -qui s'en plaindra ?- mais a minima,
en
invoquant une espèce de tradition.¤ le calcul posé (ou en ligne, "éventuellement" a-ton envie d'ajouter) ; ¤ le calcul instrumenté à bon escient (sic). |
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Ce
jugement, trop rapide
certainement, ne doit pas émouvoir l'étudiant qui
lira cette page. On
attend de lui, à l'épreuve de
mathématiques du concours de recrutement,
qu'il puisse mener des calculs de façon experte, de
façon bien plus
experte que ce qu'on l'on attend d'un
élève de CM2 voire de collège. Les qualités de précision et de rigueur, de souplesse et d'endurance, d'anticipation et de vérification, qu'il aura pu manifester alors, ne lui seront pas de trop, quand, ayant embrassé la carrière, il devra user de méthodes expertes pour traiter rapidement les situations numériques que sa préparation de séquence lui suggérera de proposer à ses élèves. |
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