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Cette page comprend des
éléments d'appui à un travail de réflexion sur l'enseignement de
la symétrie axiale à l'Ecole Primaire avec des étudiants de
seconde année du Master 'Professeur des Ecoles'. Cette page
n'est certainement pas autonome du cours en présentiel, du fait
qu'elle ne cerne pas complètement le sujet. Voici le plan de cette page. Cliquer sur les titres énoncés pour accéder directement aux rubriques correspondantes : |
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Une symétrie axiale -sous entendu du
plan- est une isométrie négative du plan. C'est donc une transformation du plan -bijective- qui respecte les distances (isométrie) mais en inversant le sens des figures. Comme toute isométrie : elle respecte les
propriétés d'incidence ; tout alignement est transformé en un
alignement, en particulier, tout segment [AB] est
transformé en un segment [A'B'] où A' et B' sont les symétriques
de A et B ;
elle respecte les distances (un milieu est transformé en un milieu) ; elle respecte les angles au signe près ; mais ceci n'empêche pas les perpendiculaires d'être transformées en des perpendiculaires ni les parallèles de l'être en des parallèles. Une symétrie axiale laisse invariant un ensemble de points, plus précisément une droite, appelée axe de symétrie. On concrétise assez facilement la notion de symétrie : Avec un miroir (les
pédagogues évoqueront le géomiroir) ;
Avec un papier calque (on trace une figure et au minimum deux points distincts de l'axe de symétrie, on décalque ces tracés avant de retourner le papier calque et de le superposer aux niveaus des points isolés sur l'axe de symétrie) ; Par pliage d'une feuille de papier sur elle-même. Cette illustration est bien connue des amateurs de Rorschah. Par réversibilité : on dispose de deux découpes identiques d'une même forme ; si onpeut superposer sur la première découpe la seconde "retournée", alors la forme est symétrique. |
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On
est amené à distinguer deux aspects : 1/ Une figure
apparait comme symétrique, plus généralement régulière.
Lorsqu'on l'analyse, on dégage un axe de symétrie (mais en
général plusieurs), et/ou une rotation (en général plusieurs).
Voici deux séries d'exemples avec quelques intrus ...
Les logos, en particulier ceux des constructeurs automobiles, fournissent un large éventail de figures à étudier sous l'angle de la symétrie. Pour empâter un peu la présentation, disons qu'une isométrie est à l'œuvre dans le plan, qui conserve la figure du logo. Bien entendu, repérer -perceptivement- qu'une figure est symétrique n'est qu'un premier pas. Restera ensuite à caractériser ses éléments de symétrie : axes ou centres et angles de rotation. 2/ Le deuxième aspect est plus programmatique. Etant donné une configuration de géométrie plane et une droite, tracer le symétrique de cette configuration par rapport à la droite. L'enseignement privilégie le recours à l'équerre, quant le travail au compas et à la règle seule suffit. |
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Sur
la
toile
: On trouve pléthore de sites web s'occupant de cette notion de symétrie. Voici une petit sélection commentée. ¤ Sur wikipédia, un article assez basique présente les fondements de la notion. Sur ce même site vous trouverez sur la page consacré aux jardins -dits- à la française quelques illustrations évoquant assez bien le thème de la symétrie. ¤
Les patchworks sont bien connus. Nombre d'entre eux sont
symétriques. On trouvera sur la page d'une passionnée moults "blocs"
faciles à reproduire en classe, soit par tracé géométrique, soit
par des techniques inspirées de la marquetterie. On pourrait peut-être rapprocher les pistes évoquées rapidement dans ce pragraphe de celles traitées dans ma section consacrée aux coloriages géométriques.
Trois
petits
soucis
quant à cette page : la présence d'un bandeau publicitaire en
haut de la page, un joyeux mélange entre symétrie axiale dans le
plan et symétrie dite axiale dans l'espace (qui n'est rien
qu'une rotation par rapport à une droite), l'appel enfin à deux
illustrations souffrant à mon sens du travers que je dénoncerai
ci-dessous.
¤ Dans la même veine,
impossible de passer à côté du travail de D.
Pernoux ! Sa page dédiée à la symétrie orthogonale
(autre appellation de la chose) mérite d'être visitée, au
problème (récurrent) de l'appel à un applet Java.
Attention en picorant sur la toile! Toutes les propositions ne me semblent pas également calibrées. Celles du site des coccinelles sont sans doute parmi les moins mauvaises, mais leur mise en œuvre mérite vraiment discussion. Comparer (en bien ou en mal)avec les fiches disponibles sur le site de ac-nancy-metz. ¤ Alternativement, rendez-vous sur cette page du site de la main à la pâte.
Dans le cadre d'un projet intitulé
vous y trouverez une proposition pédagogique assez
dense, assortie d'images supports. intéressantes.
On y trouve aussi des liens utiles quoique commençant à dater un peu.
J'ai
choisi cette page car elle fait appel au géomiroir,
inventé par l'équipe ERMEL.{Pour une présentation rapide
de cet instrument, cliquez sur la vignette ci-dessus à
gauche.}
Attention : le site est censé délivrer des video rapportant des pratiques de classe. Lors de mon dernier passage, le serveur de Paris 5 semblait avoir des vapeurs .... ce qui m'a bien chagriné. |
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Dans
les
livres ... Voici maintenant quelques références non nécessairement didactiques, mais toujours pédagogiques.
Voici
une rapide description du livre :
La
symétrie joue un rôle important dans l'art et dans la nature.
Derrière là notion de symétrie, se cache une mathématique
subtile et créative.
Ce
livre
se veut un itinéraire, mathématique ou non, à travers le monde
de la symétrie. Il commence par une belle galerie d'images :
mosaïques, cristaux de roche, paysages, fleurs et figures
symétriques, reflets dans des miroirs, voire des
kaleidoscopes. Les secrets de ces images sont ensuite
dévoilés. Nul ne pouvait mieux le faire que les créateurs de
la magnifique exposition Symétrie et jeux de miroirs : ils ont
exploré toutes les facettes de la construction de frises, de
pavages en 2D et 3D, de figures symétriques de toutes sortes.
Le livre se conclut par de courts textes de conférences qui
offrent un aperçu de domaines où intervient la symétrie :
médecine, musique, cinéma, psychologie, artisanat, chimie,
physique, biologie, architecture, danse, linguistique,
poésie...
Vient
ensuite le sommaire :
#
Symétrie, galerie d'images
# Symétrie, jeux de miroirs # Symétrie, comment la construire # Symétrie : tour du monde Avez-vous
observé
le titre du livre ? N'est-ce pas la figure trouvée sur la page
de Thérèse Eveilleau ?
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Avec
des
logiciels... ¤
Tous les logiciels de
géométrie dynamique propose une fonction de
symétrisation par rapport à une droite. Les commandes sont en
général explicites et rapidement mémorisées par les élèves :
on déclenche la commande, on désigne le point à transformer
puis le segment ou la droite support de l'axe de symétrie.
Une retombée pratique pour l'enseignant est la suivante : on trace un axe, on pose quelques points de base puis on engendre leurs symétriques par rapport à l'axe. In fine, soit, on relie tous ces points pour produire un polygone disposant d'un axe de symétrie, soit on relie les points de base puis les symétriques indépendament pour engendrer deux figures symétriques. La même opération n'est pas (trop) difficile avec deux axes perpendiculaires.
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« Grand N », n° 68, pp. 17 à
27, 2000-2001 : LE NAPPERON Un problème pour travailler
sur la symétrie axiale
Par Marie-Lise PELTIER Maître de conférences, IUFM de Rouen Dans
cet article d'une dizaine de pages Marie-Lise Peltier
présente une situation en géométrie qui fait intervenir
la notion de
symétrie axiale comme réponse à un problème. L'article discute du rôle de l'anticipation et de celui de la manipulation. La problématique de l'erreur (comment s'appuyer dessus pour la dépasser) et celle de la validation sont aussi abordées. Vous pouvez trouver cet article sur le site de l'irem de grenoble. Alternativement, cliquez sur le bandeau ci-dessous pour charger l'article depuis mon site. {Les imagettes reprennent certains exemples fournis en annexe.} Pour mémoire, l'irem de Grenoble édite les revuee Petit X et Grand N ; vous pouvez consulter en ligne la plupart des articles. |
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Apprentissages géométriques et
résolution de problèmes au cycle 3 INRP équipe ERMEL
chez Hatier. Gros bouquin de 609 pages. Voici la présentation issue du site de l'Inrp : Cet
ouvrage
est le résultat des travaux de recherche conduits au cycle 3
par l'équipe ERMEL de recherche en didactique des
mathématiques (INRP), associant des formateurs en IUFM et des
enseignants de l'école élémentaire. Il s'adresse aux
enseignants et aux formateurs.
La symétrie est travaillée dans
le cadre des problèmes conduisant à la comparaison d'objets
géométriques, graphiques ou matériels.
La première partie de l'ouvrage explicite les buts et les composantes communes aux apprentissages géométriques (savoirs, langage, représentations, instruments, validation). Pour chacune de ces rubriques, nous présentons d'abord les principales problématiques, une analyse des connaissances initiales des élèves, et ensuite, nos propres choix didactiques relatifs à son enseignement. Dans la seconde partie, les progressions et les situations d'apprentissage sont structurées en sept thèmes portant sur les relations et les objets. Les aspects mathématiques et didactiques propres à l'étude de chacun d'eux sont exposés en premier lieu, puis les progressions et les situations sont décrites et commentées, à partir des expérimentations conduites dans des classes pendant plusieurs années.
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Charnay-Mante
Raccourci bien connu des candidats au CRPE, initialement en tant que Pe1, et depuis 2010 comme M1 ou M2. Pour parler des ouvrages de préparation à ce concours, on dit "le Charnay-Mante", au même titre que "le Bled" ou "le Lagarde&Michard" .... Roland Charnay et Michel Mante ont tous deux fait partie de l'équipe Ermel. Ils ont, avec d'autres, participé à l'élaboration des programmes 2002, battus en brèche par les programmes 2008. Mais les faits sont têtus et les idées valides pérennes. On trouve dans les ouvrages d'avant 2008, dans la collection Hatier Concours, de précieuses indications didactiques et pédagogiques relatives à l'enseignement des grandes notions du programme de l'école primaire. J'ai donc profité des pages 319 à 325 du tome 1 de leur ouvrage ISBN 978-2-218-93170-3 (2008) pour rédiger un support de cours. Cliquez sur l'une ou l'autre des vignettes qui suivent selon les indications prodiguées.
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EuroMaths CE1 CE2 CM1 CM2 Collection éditée par Hatier. A pris la suite de la collection Objectif Calcul suivie du Nouvel Objectif Calcul. Leurs auteur(e)s ont tous (toutes) participées à un moment ou un autre à une recherche en didactique. On trouve en ligne les livres du professeur pour le cycle 3. Rendez-vous ici pour télécharger celui qui vous intéresse. Vous trouverez ci-dessous des extraits des manuels du CE1 au CM2 concernant le sujet de cette page. Leur consultation ne peut se faire que dans le cadre d'un cours ou d'une session de formation professionnelle. Aucun usage à but lucratif n'est envisageable. Les auteur(e)s comme leur éditeur ne sauraient voir leur droit de propriété entamé. |
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Pour réviser ses classiques
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Attention aux manuels scolaires !
Les manuels scolaires font largement appel à l'image comme l'on sait. Les fonctions de l'image sont nombreuses : égayer une page par ailleurs rébarbative, invite de l'enfant à effectuer une tâche donnée, aide sympathique, support d'une situation de recherche. Pour diverses raisons, le choix des illustrations n'est pas toujours bien contrôlé par les auteurs de manuels. Voici 2 exemples typiques de maladresse dans le champ de la symétrie axiale. (Cliquez sur la vignette à gauche pour afficher une image deux fois plus grande). fait de l'épaisseur du trait bleu. Un autre problème a été de suivre précisément cette crête des montagnes visibles dans l'arrière-plan de l'image. Combien d'élèves auront produit un tracé réellement exploitable ? Bien noter qu'on nous donne à voir le reflet d'un paysage dans un miroir plan (l'eau d'un lac tranquille), on concrétise une symétrie par rapport à un plan dans l'espace à trois dimensions. L'oiseau du premier plan connote fortement cela. Comment les enfants peuvent-ils se forger une bonne représentation de la symétrie axiale ? [Sur un plan mathématique : on compose une symétrie spatiale 3D par rapport à un plan et une projection sur un plan 2D. On produit ainsi une symétrie axiale par rapport à une droite (D) parallèlement à une direction (V), qui n'a aucune raison d'être ortohogonale. Dans ce qui nous préoccupe l'effet est minime, du fait du choix de la focale de l'appareil photo, de sa position par rapport au plan d'eau, de la profondeur de la scène.]. Ne pas déduire de ce qui précède une remise en cause du travail du Géomiroir. Le géomiroir permet de comparer l'image tracée dans le plan du dessin par symétrie par rapport à la base du géomiroir et du reflet du tracé dans la portion visible du plan de travail. Le géomiroir ne concrétise pas une symétrie orthogonale dans le plan. Il s'agit toujours d'une symétrie axiale. Mais du fait de la composition déjà évoquée, si le tracé par symétrie est faux, la trace produite s'écartera du reflet dans le miroir. C'est cet écart qui signale l'erreur dans la production de l'élève.
Dans certains cas, l'auteur profite d'une symétrie par rapport à un plan pour illustrer la notion de symétrie plane. On présente en perspective (parfois cavalière) un bâtiment, dont on perçoit intituivement qu'il est composé de deux moitiés équivalentes, éventuellement on fait apparaître, toujours en perspective un plan de symétrie (de profil) puis l'on affiche fièrement la façade du bâtiment, de face comme un relevé de topographe, coupée en deux, verticalement de préférence, d'un beau trait rouge (en fait la trace du plan de symétrie devenu de bout sur le plan de la façade). Géométriquement, et depuis Gaspard Monge, cette enfilade est une banalité ... pour celui qui sait, c'est à dire qui maitrise les connaissances sous-jacentes et peut opérer la succession d'opérations mentales attendues. Mais quid du jeune élève ? |
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