Bribes de cours
 

Cette page comprend des éléments d'appui à un travail de réflexion sur l'enseignement de la symétrie axiale à l'Ecole Primaire avec des étudiants de seconde année du Master 'Professeur des Ecoles'. Cette page n'est certainement pas autonome du cours en présentiel, du fait qu'elle ne cerne pas complètement le sujet.

Voici le plan de cette page. Cliquer sur les titres énoncés pour accéder directement aux rubriques correspondantes :
Les notions Retour Haut
Une symétrie axiale -sous entendu du plan- est une isométrie négative du plan.
C'est donc une transformation du plan -bijective- qui respecte les distances (isométrie) mais en inversant le sens des figures.

Comme toute isométrie :
elle respecte les propriétés d'incidence ; tout alignement est transformé en un alignement, en particulier, tout  segment [AB] est transformé en un segment [A'B'] où A' et B' sont les symétriques de A et B ;
elle respecte les distances (un milieu est transformé en un milieu) ;
elle respecte les angles au signe près ; mais ceci n'empêche pas les perpendiculaires d'être transformées en des perpendiculaires ni les parallèles de l'être en des parallèles.

Une symétrie axiale laisse invariant un ensemble de points, plus précisément une droite, appelée axe de symétrie.

On concrétise assez facilement la notion de symétrie :
Avec un miroir (les pédagogues évoqueront le géomiroir) ;
Avec un papier calque (on trace une figure et au minimum deux points distincts de l'axe de symétrie, on décalque ces tracés avant de retourner le papier calque et de le superposer aux niveaus des points isolés sur l'axe de symétrie) ;
Par pliage d'une feuille de papier  sur elle-même. Cette illustration est bien connue des amateurs de Rorschah.
Par réversibilité : on dispose de deux découpes identiques d'une même forme ; si onpeut superposer sur la première découpe la seconde "retournée", alors la forme est symétrique.
On est amené à distinguer deux aspects :
1/ Une figure apparait comme symétrique, plus généralement régulière. Lorsqu'on l'analyse, on dégage un axe de symétrie (mais en général plusieurs), et/ou une rotation (en général plusieurs). Voici deux séries d'exemples avec quelques intrus ...
Un premier exemple de figures a priori symétriques
Une seconde série de motifs symétriques, à un intrus près ...
Les logos, en particulier ceux des constructeurs automobiles, fournissent un large éventail de figures à étudier sous l'angle de la symétrie.
Pour empâter un peu la présentation, disons qu'une isométrie est à l'œuvre dans le plan, qui conserve la figure du logo.

Bien entendu, repérer -perceptivement- qu'une figure est symétrique n'est qu'un premier pas. Restera ensuite à caractériser ses éléments de symétrie : axes ou centres et angles de rotation.

2/ Le deuxième aspect est plus programmatique. Etant donné une configuration de géométrie plane et une droite, tracer le symétrique de cette configuration par rapport à la droite.
L'enseignement privilégie le recours à l'équerre, quant le travail au compas et à la règle seule suffit.

Les supports Retour Haut
Sur la toile :

On trouve pléthore de sites web s'occupant de cette notion de symétrie. Voici une petit sélection commentée.

¤ Nombre de sites proposent un compte-rendu d'une conférence tenue par  Jean Philibert, Professeur honoraire à Paris Sud/Orsay sur le thème de La symétrie dans la nature, la science et l’art. Assez théorique, les images proposées en appui sont bien révélatrices du concept de la symétrie, au sens large.
C'est pourquoi j'en reproduis (à mon tour) le compte-rendu. Cliquer sur la vignette ci-contre pour charger le Pdf associé (10 Mo donc assez lourd à charger pour des liaisons lentes).
Vers la conf. sur la symétrie

¤ Sur wikipédia, un article assez basique présente les fondements de la notion. Sur ce même site vous trouverez sur la page consacré aux jardins -dits- à la française quelques illustrations évoquant assez bien le thème de la symétrie.

¤ Les patchworks sont bien connus. Nombre d'entre eux sont symétriques. On trouvera sur la page d'une passionnée moults "blocs" faciles à reproduire en classe, soit par tracé géométrique, soit par des techniques inspirées de la marquetterie.
Quelques illustrations ci-dessous :

Des petits blocs ...

On pourrait peut-être rapprocher les pistes évoquées rapidement dans ce pragraphe de celles traitées dans ma section consacrée aux coloriages géométriques.

¤ Les passionné(e)s de canivets travaillent nécéssairement par symétrie selon un axe ou deux, en général parallèles aux bords du cadre.
Cliquez sur la vignette ci-contre pour agrandir.
Les canivets sont des napperons raffinés produits avec des petits couteaux du même nom. Rendez-vous ici pour visiter le site de l'auteure du canivet exposé ci-contre.Si vous acceptez les intrusions publicitaires vous pouvez aussi visiter le site www.bluemarguerite.com.
Exemple de canivet
V_2F.png
¤ Sur le site Chronomath, une page interactive est consacrée à la notion. La figure du F et de son symétrique est reprise. On peut modifier la taille et la position du F, celle de l'axe de symétrie et repérer les effets produits sur  la figure symétrique.
Attention : l'animation exige le chargement d'un pluggin Java qui sera proscrit à terme.

 Trois petits soucis quant à cette page : la présence d'un bandeau publicitaire en haut de la page, un joyeux mélange entre symétrie axiale dans le plan et symétrie dite axiale dans l'espace (qui n'est rien qu'une rotation par rapport à une droite), l'appel enfin à deux illustrations souffrant à mon sens du travers que je dénoncerai ci-dessous.

¤ Dans la même veine, on ne peut pas ne pas citer http://trianglacolorier.free.fr/ qui propose de nombreuses activités autour de la symétrie axiale avec 1 ou 2 axes de toute direction.

¤ Sur le site du matou matheu, consulter la section consacrée à une première découverte au cycle 2 puis celle dédiée à l'approfondissement de la notion au CM2 .

V_ptbf.png
¤ Sur le site canadien bien connu recitmst.qc.ca, on trouvait une animation utilisant le logiciel de géométrie dynamique Geonext. Cette animation n'est plus disponible depuis 2013, ce qui est bien dommage. Il n'est pas trop difficile de la reproduire. La manipulation comme le logiciel sont présentés à la page 9/13 de la fiche péda en ligne sur le site ac-versailles.

¤ Dans la même veine, impossible de passer à côté du travail de D. Pernoux ! Sa page dédiée à la symétrie orthogonale (autre appellation de la chose) mérite d'être visitée, au problème (récurrent) de l'appel à un applet Java.

V_primaths.png
¤ Vous trouverez sur le site d'Yves Thomas, formateur à l'IUFM des Pays de la Loire une page dédiée à cette notion, dans une application pour CM. Le projet est de dessiner le symétrique par rapport à un axe d'une figure simple. Les photos, soignées, montrent l'emploi d'un calque, puis l'appel à une équerre graduée.

¤ Ne pas rater lors de la visite du site de Thérèse Eveilleau sa page consacrée à la symétrie (et intitulée Le jeu du miroir). L'image ci-contre est reprise de cette page. Cette image a une histoire décrite ci-dessous.

Vers le fichier 'Sym_en_Mater.pdf' ¤ Vous trouverez sur le site webinstit.net des propositions en arts visuels fortement liées à la notion de symétrie axiale. J'ai complété leur dossier en glanant quelques propositions d'autres écoles maternelles et concocté un petit pdf, à charger en cliquant sur la vignette ci-contre à gauche ; le chargement est un peu long , soyez patient.
 

Attention en picorant sur la toile! Toutes les propositions ne me semblent pas également calibrées.
Celles du site des coccinelles sont sans doute parmi les moins mauvaises, mais leur mise en œuvre mérite vraiment discussion. Comparer (en bien ou en mal)avec les fiches disponibles sur le site de ac-nancy-metz.
¤  Alternativement, rendez-vous sur cette page du site de la main à la pâte.
Dans le cadre d'un projet intitulé "Découvertes en pays d'Islam" vous y  trouverez une proposition pédagogique assez dense, assortie d'images supports. intéressantes.
On y trouve aussi des liens utiles quoique commençant à dater un peu.


V_geomiroir.png
¤ Et pour clore cette section, une progression complète sur la notion, en cycle 2, pas en cycle 3 !  Vous la trouverez sur cette page du site TFM :
J'ai choisi cette page car elle fait appel au géomiroir, inventé par l'équipe ERMEL.{Pour une présentation rapide de cet instrument, cliquez sur la vignette ci-dessus à gauche.}
Attention : le site est censé délivrer des video rapportant des pratiques de classe. Lors de mon dernier passage, le serveur de Paris 5 semblait avoir des vapeurs .... ce qui m'a bien chagriné.

Dans les livres ...   Retour Haut

Voici maintenant quelques références non nécessairement didactiques, mais toujours pédagogiques.

¤  Sur le site www.mathkang.org vous pouvez acheter l'excellent petit opus "Jeux de symétries".
Je reproduis leur prière d'insérer :

Des dizaines de petits problèmes, de coloriages, d'activités, d'observations sur les symétries de notre monde (pliage autour d'une droite ou demi-tour). Pour apprendre à reconnaître ou à reproduire des symétries, pour prendre plaisir à les créer et à les exploiter dans les pavages ou dans de simples dessins d'objets...
Vers le site du kangourou
Revue TDC n°883 Revue TDC, n° 883, en date du 1er novembre 2004.

Semble toujours en vente sur le site du CNDP. Notice diffusée par l'éditeur :
Concept polysémique et transversal, la symétrie concerne les mathématiques, mais aussi les sciences de la nature, les sciences humaines et les arts. Son histoire accompagne et recoupe celle des sociétés humaines, de leurs représentations imaginaires. Indissociable de ses contraires, l'asymétrie et la dissymétrie, elle témoigne de la quête d'ordre et d'harmonie, en même temps que ses transgressions viennent rappeler la fascination pour le déséquilibre et le vertige.
¤ En 2001, se tenait à Milan une exposition sur le thème de la symétrie, sous l'égide du Directeur du Département de Mathématiques de l'Université de Milan. Il en résultait un livre traduit en 2002 dans notre langue grâce aux soins des Editions POLE. Ce livre ne semble plus au catalogue de cet éditeur. Mais on le trouve encore sur le site de PriceMinister ainsi que sur le site de la librairie Eyrolles.

Cette exposition traversa les Alpes.
On en trouve quelques traces sur le réseau, comme par exemple à Maubeuge.
Symétrie et jeu de miroit
Voici une rapide description du livre :
La symétrie joue un rôle important dans l'art et dans la nature. Derrière là notion de symétrie, se cache une mathématique subtile et créative.
Ce livre se veut un itinéraire, mathématique ou non, à travers le monde de la symétrie. Il commence par une belle galerie d'images : mosaïques, cristaux de roche, paysages, fleurs et figures symétriques, reflets dans des miroirs, voire des kaleidoscopes. Les secrets de ces images sont ensuite dévoilés. Nul ne pouvait mieux le faire que les créateurs de la magnifique exposition Symétrie et jeux de miroirs : ils ont exploré toutes les facettes de la construction de frises, de pavages en 2D et 3D, de figures symétriques de toutes sortes. Le livre se conclut par de courts textes de conférences qui offrent un aperçu de domaines où intervient la symétrie : médecine, musique, cinéma, psychologie, artisanat, chimie, physique, biologie, architecture, danse, linguistique, poésie...
Vient ensuite le sommaire : 
# Symétrie, galerie d'images
# Symétrie, jeux de miroirs
# Symétrie, comment la construire
# Symétrie : tour du monde
Avez-vous observé le titre du livre ? N'est-ce pas la figure trouvée sur la page de Thérèse Eveilleau ?

"Mon oeil" par W. Wick MON OEIL ! JEUX D'OPTIQUE par Walter Wick chez Millepages.

Le sujet premier est celui des illusions d'optique. Toutes les images résultent de photos par l'auteur de montages réalisés par ses soins. Hors sujet ? Sauf que ...

Le héros principal est peut-être le miroir... mais miroir n'est-il pas synonyme de symétrie ?

Avec des logiciels...   Retour Haut

¤ Tous les logiciels de géométrie dynamique propose une fonction de symétrisation par rapport à une droite. Les commandes sont en général explicites et rapidement mémorisées par les élèves : on déclenche la commande, on désigne le point à transformer puis le segment ou la droite support de l'axe de symétrie.
Une retombée pratique pour l'enseignant est la suivante : on trace un axe, on pose quelques points de base puis on engendre leurs symétriques par rapport à l'axe. In fine, soit, on relie tous ces points pour produire un polygone disposant d'un axe de symétrie, soit on relie les points de base puis les symétriques indépendament pour engendrer deux figures symétriques. La même opération n'est pas (trop) difficile avec deux axes perpendiculaires.
Elle peut être étendue à des configurations à deux axes à condition que les angles qu'ils définissent soient des diviseurs de 360°. Sinon, l'opération devient vite périlleuse.On peut ainsi compléter rapidement son répertoire de formes symétriques.
Vous trouverez sur ma page dédiée à la géométrie dynamique une section dédiée à la problématique de la symétrie axiale. N'hésitez pas à vous y rendre.
Quinze modules vous sont proposés. Ils ont tous été réalisés avec GeoGebra. Vous pouvez les visualiser en ligne. Il vous suffit de cliquer sur ce bouton : geobra2.png


¤ Malheureusement, à ma connaissance, les logiciels de géométrie dynamique ne savent pas transformer directement un polygone sous une isométrie. Dans certains cas, on pourra préférer se retourner vers un logiciel de dessin vectoriel. A cet égard, le module de dessin oOo Draw de la suite Open Office peut rendre de fiers services ! En effet, après avoir produit une forme, éventuellement complexe, il est facile d'en produire un clone symétrisé -disons- verticalement, puis de symétriser le résultat global, disons verticalement. Pour donner le change, il ne suffit plus que de faire tourner quelque peu la figure totale.
Ci-contre un exemple qui ne m'a pas coûté plus de 3 minutes à produire.
Exemple de dessin symétrique

Eléments pédagogiques Retour Haut
« Grand N », n° 68, pp. 17 à 27, 2000-2001 : LE NAPPERON Un problème pour travailler sur la symétrie axiale
Par  Marie-Lise PELTIER Maître de conférences, IUFM de Rouen

Dans cet article d'une dizaine de pages Marie-Lise Peltier présente une situation en géométrie qui fait intervenir la notion de
symétrie axiale comme réponse à un problème. L'article discute du rôle de l'anticipation et de celui de la manipulation. La problématique de l'erreur (comment s'appuyer dessus pour la dépasser) et celle de la validation sont aussi abordées.
Vous pouvez trouver cet article sur le site de l'irem de grenoble. Alternativement, cliquez sur le bandeau ci-dessous pour charger l'article depuis mon site. {Les imagettes reprennent certains exemples fournis en annexe.}
Vers l'article de Marie-Lise Peltier

Pour mémoire, l'irem de Grenoble édite les revuee Petit X  et  Grand N ; vous pouvez consulter en ligne la plupart des articles.
Apprentissages géométriques et résolution de problèmes au cycle 3 INRP équipe ERMEL  chez Hatier.   Retour Haut

Gros bouquin de 609 pages. Voici la présentation issue du site de l'Inrp :
Cet ouvrage est le résultat des travaux de recherche conduits au cycle 3 par l'équipe ERMEL de recherche en didactique des mathématiques (INRP), associant des formateurs en IUFM et des enseignants de l'école élémentaire. Il s'adresse aux enseignants et aux formateurs.
La première partie de l'ouvrage explicite les buts et les composantes communes aux apprentissages géométriques (savoirs, langage, représentations, instruments, validation). Pour chacune de ces rubriques, nous présentons d'abord les principales problématiques, une analyse des connaissances initiales des élèves, et ensuite, nos propres choix didactiques relatifs à son enseignement.
Dans la seconde partie, les progressions et les situations d'apprentissage sont structurées en sept thèmes portant sur les relations et les objets. Les aspects mathématiques et didactiques propres à l'étude de chacun d'eux sont exposés en premier lieu, puis les progressions et les situations sont décrites et commentées, à partir des expérimentations conduites dans des classes pendant plusieurs années.
La symétrie est travaillée dans le cadre des problèmes conduisant à la comparaison d'objets géométriques, graphiques ou matériels.
Vers le fichier de l'école Currie à Woippy.  Cette catégorie englobe aussi bien des problèmes de localisation ou de formes (les objets sont perçus comme identiques, à la taille près éventuellement) ou des problèmes de catégorisation (les objets analysés ont des propriétés communes). Tout ceci est fort bien expliqué dans les pages 327 à  409 du thème 4.

J'ai trouvé sur la toile une proposition de séquençage sur la symétrie axiale inspirée des idées Ermel. Pour revenir à l'article en ligne cliquez ici. Sinon, chargez directement le PDF en cliquant sur la vignette ci-contre à gauche.
Charnay-Mante   Retour Haut
Raccourci bien connu des candidats au CRPE, initialement en tant que Pe1, et depuis 2010 comme M1 ou  M2. Pour parler des ouvrages de préparation à ce concours, on dit "le Charnay-Mante", au même titre que "le Bled" ou "le Lagarde&Michard" ....

Roland Charnay et Michel Mante ont tous deux fait partie de l'équipe Ermel. Ils ont, avec d'autres, participé à l'élaboration des programmes 2002, battus en brèche par les programmes 2008. Mais les faits sont têtus et les idées valides pérennes.

On trouve dans les ouvrages d'avant 2008, dans la collection Hatier Concours, de précieuses indications didactiques et pédagogiques relatives à l'enseignement des grandes notions du programme de l'école primaire. J'ai donc profité des pages 319 à 325 du tome 1 de leur ouvrage  ISBN 978-2-218-93170-3 (2008) pour rédiger un support de cours. Cliquez sur l'une ou l'autre des vignettes qui suivent selon les indications prodiguées.
Pdf au format A5 adapté pour une projection Pdf au format A4 adapté pour une impression
Fichier Pdf au format A5
adapté pour une projection
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EuroMaths CE1 CE2 CM1 CM2   Retour Haut
Collection éditée par Hatier. A pris la suite de la collection Objectif Calcul suivie du Nouvel Objectif Calcul. Leurs auteur(e)s ont tous (toutes) participées à un moment ou un autre à une recherche en didactique.

On trouve en ligne les livres du professeur pour le cycle 3. Rendez-vous ici pour télécharger celui qui vous intéresse.

Vous trouverez ci-dessous des extraits des manuels du CE1 au CM2 concernant le sujet de cette page.
Leur consultation ne peut se faire que dans le cadre d'un cours ou d'une session de formation professionnelle. Aucun usage à but lucratif n'est envisageable. Les auteur(e)s comme leur éditeur ne sauraient voir leur droit de propriété entamé.
un méli-mélo autour de la symétrie axiale au CE Corrigé du méli-mélo sur la symétrie axiale au CE Extraits du fichier élève de CM1 sur le sujet de la symétrie axiale. Extraits du fichier élève de CM2 sur le sujet de la symétrie axiale.
Un méli-mélo autour de la symétrie axiale au CE Corrigé du méli-mélo sur la symétrie axiale au CE: les deux premières pages correspondent au CE1, les deux suivantes au CE2. Extraits du fichier élève de CM1 sur le sujet de la symétrie axiale. Extraits du fichier élève de CM1 sur le sujet de la symétrie axiale.

Pour réviser ses classiques   Retour Haut

Profitez de l'ancienne forme du concours pour vous interroger sur votre maîtrise du sujet. En ralliant le site de l'Arpem, vous pourrez fouiller dans les annales du concours et dénicher ceux traitant de l'enseignement de la symétrie axiale. Vous pouvez aussi profiter de ma page consacrée au nouveau concours.

Vous trouverez ci-contre un sujet hyper-classque et son corrigé.
sujet de concours (<2010) hyper classique. Corrigé du sujet de concours (<2010) hyper classique.
Sujet de concours (<2010) hyper classique. Corrigé du sujet de concours (<2010) hyper classique.
Attention aux manuels scolaires !   Retour Haut

Les manuels scolaires font largement appel à l'image comme l'on sait. Les fonctions de l'image sont nombreuses : égayer une page par ailleurs rébarbative, invite de l'enfant à effectuer une tâche donnée, aide sympathique, support d'une situation de recherche.

Pour diverses raisons, le choix des illustrations n'est pas toujours bien contrôlé par les auteurs de manuels. Voici 2 exemples typiques de maladresse dans le champ de la symétrie axiale. (Cliquez sur la vignette à gauche pour afficher une image deux fois plus grande).

Unexemple d'image discutable. Extrait d'un livre destiné à des CE 2.

Il s'agit de faire prendre conscience de la notion de symétrie axiale. L'outil utilisé est le papier calque, l'objet géométrique visé est la montagne visible en arrière-plan.
A l'effectuation de la tâche, on obtient un tracé, représenté par la ligne jaune sur l'illustration ci-contre. L'un des problèmes a été de placer correctement le calque, du
fait de l'épaisseur du trait bleu.
Un autre problème a été de suivre précisément cette crête des montagnes visibles dans l'arrière-plan de l'image. Combien d'élèves auront produit un tracé réellement exploitable ? Bien noter qu'on nous donne à voir  le reflet d'un paysage dans un miroir plan (l'eau d'un lac tranquille), on concrétise une symétrie par rapport à un plan dans l'espace à trois dimensions. L'oiseau du premier plan connote fortement cela. Comment les enfants peuvent-ils se forger une bonne représentation de la symétrie axiale ?
[Sur un plan mathématique : on compose une symétrie spatiale 3D par rapport à un plan et une projection sur un plan 2D. On produit ainsi une symétrie axiale par rapport à une droite (D) parallèlement à une direction (V), qui n'a aucune raison d'être ortohogonale. Dans ce qui nous préoccupe l'effet est minime, du fait du choix de la focale de l'appareil photo, de sa position par rapport au plan d'eau, de la profondeur de la scène.].
Ne pas déduire de ce qui précède une remise en cause du travail du Géomiroir. Le géomiroir permet de comparer l'image tracée dans le plan du dessin par symétrie par rapport à la base du géomiroir et du reflet du tracé dans la portion visible du plan de travail. Le géomiroir ne concrétise pas une symétrie orthogonale dans le plan. Il s'agit toujours d'une symétrie axiale. Mais du fait de la composition déjà évoquée,  si le tracé par symétrie est faux, la trace produite s'écartera du reflet dans le miroir. C'est cet écart qui signale l'erreur dans la production de l'élève.
vers la grande image 'Anous_symCM2.png' Cette seconde image provient d'un livre pour CM2. Glissons sur la question n°2, de peu d'intérêt sur le plan mathématique.

Il s'agit donc du Pentagone. Les auteurs pensent-ils faciliter chez leurs jeunes élèves l'observation du polygone régulier  visé ?

Il est  fréquent de trouver dans les manuels des représentations en perspective  d'objets ou bâtiments présentant des éléments de symétrie. Le chateau de Vaux-le-Vicomte ou de Breteuil,  les jardins de Villandry ou ceux du Manoir d'Eyrignac servent bien souvent d'illustration de la notion de symétrie.
Bien entendu, la forme, considérée abstraitement, est symétrique, mais pas son apparence dans sa représentation plane. Il faut modifier mentalement la forme, la faire pivoter dans ce que Piaget appelait l'espace représentatif, pour s'assurer de cette symétrie. Le serpent se mord la queue : pour installer une notion, on fait appel à une image qui n'est vraiment fonctionnelle que si  la notion est déjà maîtrisée.

Dans certains cas, l'auteur profite d'une symétrie par rapport à un plan pour illustrer la notion de symétrie plane. On présente en perspective (parfois cavalière) un bâtiment, dont on perçoit intituivement qu'il est composé de deux moitiés équivalentes, éventuellement on fait apparaître, toujours en perspective un plan de symétrie (de profil) puis l'on affiche fièrement la façade du bâtiment, de face comme un relevé de topographe, coupée en deux, verticalement de préférence, d'un beau trait rouge (en fait la trace du plan de symétrie devenu de bout sur le plan de la façade). Géométriquement, et depuis Gaspard Monge, cette enfilade est une banalité ... pour celui qui sait, c'est à dire qui maitrise les connaissances sous-jacentes et peut opérer la succession d'opérations mentales attendues. Mais quid du jeune élève ?

Page mise à jour le 10/01/2014 [Retour Haut de la fenêtre]