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Je discute ici des apports
possibles de Logo à la conquête de certaines
notions d'arithmétique. |
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Cette discussion est
répartie en 9 chapitres, accessibles en cliquant
sur l'un des onglets ci-dessous.
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Est
déclaré premier un nombre entier qui n'admet pas
d'autres diviseurs que 1 et lui même. A l'école
primaire, on peut évoquer cette notion en
s'intéressant aux nombres qui ne sont pas dans la table de
Pythagore de la multiplication.
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Pour un survol rapide du
concept,
filer tout droit sur Wikipedia.
Le champ de recherches
associées est loin d'être circonscrit comme le
montre le paragraphe dédié aux questions ouvertes
: 10 conjectures dont les célèbres
conjectures de Goldbach et de Legendre.
Une
bonne introduction plus historique que mathématique est
fournie par le livre de Marcus du Sautoy : 'La symphonie des nombres
premiers' n° S176 dans la Collection Points (ISBN
978-2-7578-0429-2).
Près de 500 pages aux caractères bien petits
assurent une couverture approfondie mais facile à lire de ce
sujet.
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Divers
auteurs se sont emparés de cette notion pour tourner
-parfois joliment- un roman. En voici deux :
Mais il en
existe
certainement d'autres.
A
titre de passe-temps, on peut se lancer dans la recherche de nombres
premiers familiers, tel numéro dans une adresse, telle
année de naissance : si je vous dis que je suis
né après la deuxième guerre mondiale
une année dont la valeur est un nombre premier et qu'au
moment où j'écris ces lignes je suis
près de la retraite, saurez-vous retrouver ma date
de
naissance ? Attention aux jumeaux !
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Bien entendu, toute
recherche de nombre premier peut être entreprise à la main.
On peut aussi s'appuyer sur une calculette, mais cela suppose de
disposer d'au moins un algorithme efficace. Le plus connu passe par le
repérage des multiples de 6.
On peut aussi s'appuyer sur un module programmé et c'est ce
que je vous propose maintenant. |
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Pour saisir les enjeux du
travail proposé et les pistes afférentes,
reportez vous aux pages 4 et suivantes de mon
document général.
Ou ouvrez le seul feuilleton n°3, extrait du
document général.
Si vous voulez ausculter le module logo concerné, ouvrez le
fichier CodeXlogo_MulDiv.pdf
.
Si vous ne l'avez pas déjà fait, installez le
module logo en cliquant bouton droit
(pas bouton gauche surtout) sur le libellé
ci-dessous et activez dans le menu local l'article [Enregistrer la
cible du lien sous ...] : DivMult.lgo . Notez que ce fichier est
commun aux chapitres 3 à 6 de mon topo.
Il
est certainement plus simple pour vous de
télécharger
l'archive ModulesLogo.zip et de la
décompresser dans le dossier
déjà évoqué dans
l'introduction. Vous tiendrez
une bonne fois pour toutes tous les modules nécessaires,
dont le module propre aux chapitres 3 à 6. |
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Dans le chapitre
dédié aux nombres premiers, je vous propose :
- de
rechercher si un nombre donné est premier ou non. Exemple : ec
premier? 4513. Sauf réglage
évoqué dans le corps du document, vous devez
limiter votre recherche à des nombres ne
dépassant pas 999 999 999. Ca nous met loin du plus grand
nombre premier connu (soit en 2009 2^30402457 - 1) qui
comprend plus de 9 millions de chiffres. De toute façon,
n'espérez pas empocher le prix de l'Electronic
Frontier Foundation grâce
à mon modeste travail.
- de rechercher une suite de
nombres premiers jusqu'à un certain rang. Exemple : ec
suitepremiers 111 retourne la liste {2 3 5 7
11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103
107 109}.
- de se focaliser sur une
liste de nombres premiers, entre deux nombres donnés.
Exemple : ec
lpremiers 1901 1999 retourne la liste {1907
1913 1931 1933 1949 1951 1973 1979 1987 1993 1997 1999 }. Et vous
pouvez répondre facilement à ma petite devinette.
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A vous d'initier quelques
séances de recherche avec vos élèves
(cycle 3 de l'école primaire minimum). Je vous laisse juge
de l'appel à ma petite machine, en back office pour
préparer le travail en classe, en front office pour initier,
valider ou relancer ce travail. Voici quelques thèmes bien
développés dans la littérature
spécialisée :
- les
gigognes : 1, 19 , 197, 1979, 19793 ... ont quelque chose en commun.
Continuer la série. Idem avec [1 17 173 ... ] Reportez-vous
à mon
papier si
nécessaire.
- les
raccourcissables à gauche (resp. à droite) -c'est
la notion inverse de de la précédente : ec
premier? 567629137 . Quand on
enlève des chiffres au début (resp. à
la fin) on obtient encore un nombre premier.
- les palindromes : 11, 131,
151, 181 sont des palindromes numériques et ils sont
premiers. Trouver d'autres palindromes. Pour vous aider, j'indique
qu'à part 11, aucun palindrome premier n'a un nombre pair de
chiffres.
- les
permutables : 13 et 31 sont premiers, 113, 131, 311 sont premiers.
Saurez-vous en trouver d'autres ?
- les
circulaires : 197, 971, 719 forment un cycle de nombres premiers.
Pour toutes ces questions,
pour collectionneurs endurcis, reportez-vous au très complet
livre de J-P Delahaye :
Merveilleux nombres
premiers ¤ Voyage au coeur de l'arithmétique
Bibliothèque
scientifique chez BELIN
ISBN
2-84245-017-5
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Les algorithmes
employés dans le module Logo sont très
classiques. Vous pourrez les retrouver dans la page
dédiée au sujet Maths & Tableur
et dans la page Arithmétique
et Revolution. |
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Page modifiée
le 9 mai 2010.
Réponse devinette
:
Je suis donc né en 1949. |