Je discute ici des apports possibles de Logo à la conquête de certaines notions d'arithmétique. Vers la page dédiée aux bandes de Neper Retour à l'accueil 'Machines' Vers la page dédiée à l'arithmétique

Cette discussion est répartie en  9 chapitres, accessibles en cliquant sur l'un des onglets ci-dessous.

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Est déclaré premier un nombre entier qui n'admet pas d'autres diviseurs que 1 et lui même. A l'école primaire, on peut évoquer cette notion en s'intéressant aux nombres qui ne sont pas dans la table de Pythagore de la multiplication.
Pour un survol rapide du concept, filer tout droit sur Wikipedia. Le champ de recherches associées est loin d'être circonscrit comme le montre le paragraphe dédié aux questions ouvertes : 10 conjectures dont les célèbres conjectures de Goldbach et de  Legendre.
Une bonne introduction plus historique que mathématique est fournie par le livre de Marcus du Sautoy : 'La symphonie des nombres premiers' n° S176 dans la Collection Points (ISBN  978-2-7578-0429-2).
Près de 500 pages aux caractères bien petits assurent une couverture approfondie mais facile à lire de ce sujet.
Divers auteurs se sont emparés de cette notion pour tourner -parfois joliment- un roman. En voici deux :
Mais il en existe certainement d'autres.

A titre de passe-temps, on peut se lancer dans la recherche de nombres premiers familiers, tel numéro dans une adresse, telle année de naissance : si je vous dis que je suis né après la deuxième guerre mondiale une année dont la valeur est un nombre premier et qu'au moment où j'écris ces lignes je suis près de la retraite, saurez-vous retrouver ma date de naissance ? Attention aux  jumeaux !

Bien entendu, toute recherche de nombre premier peut être entreprise à la main. On peut aussi s'appuyer sur une calculette, mais cela suppose de disposer d'au moins un algorithme efficace. Le plus connu passe par le repérage des multiples de 6.
 
On peut aussi s'appuyer sur un module programmé et c'est ce que je vous propose maintenant.
Pour saisir les enjeux du travail proposé et les pistes afférentes, reportez vous aux pages 4 et suivantes de mon document général.
Ou ouvrez le seul feuilleton n°3, extrait du document général.
Si vous voulez ausculter le module logo concerné, ouvrez le fichier CodeXlogo_MulDiv.pdf .
Si vous ne l'avez pas déjà fait, installez le module logo en
cliquant bouton droit (pas bouton gauche surtout) sur le libellé ci-dessous et activez dans le menu local l'article [Enregistrer la cible du lien sous ...] : DivMult.lgo . Notez que ce fichier est commun aux chapitres 3 à 6 de mon topo.
Il est certainement plus simple pour vous de télécharger l'archive ModulesLogo.zip et de la décompresser dans le dossier déjà évoqué dans l'introduction. Vous tiendrez une bonne fois pour toutes tous les modules nécessaires, dont le module propre aux chapitres 3 à 6.

 Dans le chapitre dédié aux nombres premiers, je vous propose :
  • de rechercher si un nombre donné est premier ou non. Exemple : ec premier? 4513. Sauf réglage évoqué dans le corps du document, vous devez limiter votre recherche à des nombres ne dépassant pas 999 999 999. Ca nous met loin du plus grand nombre premier connu (soit en 2009  2^30402457 - 1) qui comprend plus de 9 millions de chiffres. De toute façon, n'espérez pas empocher le prix de l'Electronic Frontier Foundation grâce à mon modeste travail.
  • de rechercher une suite de nombres premiers jusqu'à un certain rang. Exemple : ec suitepremiers 111 retourne la liste {2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109}. 
  • de se focaliser sur une liste de nombres premiers, entre deux nombres donnés. Exemple : ec lpremiers 1901 1999 retourne la liste {1907 1913 1931 1933 1949 1951 1973 1979 1987 1993 1997 1999 }. Et vous pouvez répondre facilement à ma petite devinette.
A vous d'initier quelques séances de recherche avec vos élèves (cycle 3 de l'école primaire minimum). Je vous laisse juge de l'appel à ma petite machine, en back office pour préparer le travail en classe, en front office pour initier, valider ou relancer ce travail. Voici quelques thèmes bien développés dans la littérature spécialisée :
  • les gigognes : 1, 19 , 197, 1979, 19793 ... ont quelque chose en commun. Continuer la série. Idem avec [1 17 173 ... ] Reportez-vous à mon papier si nécessaire.
  • les raccourcissables à gauche (resp. à droite) -c'est la notion inverse de de la précédente : ec premier? 567629137 . Quand on enlève des chiffres au début (resp. à la fin) on obtient encore un nombre premier.
  • les palindromes : 11, 131, 151, 181 sont des palindromes numériques et ils sont premiers. Trouver d'autres palindromes. Pour vous aider, j'indique qu'à part 11, aucun palindrome premier n'a un nombre pair de chiffres.
  • les permutables : 13 et 31 sont premiers, 113, 131, 311 sont premiers. Saurez-vous en trouver d'autres ?
  • les circulaires : 197, 971, 719 forment un cycle de nombres premiers.
Pour toutes ces questions, pour collectionneurs endurcis, reportez-vous au très complet livre de J-P Delahaye :
Merveilleux nombres premiers ¤ Voyage au coeur de l'arithmétique
Bibliothèque scientifique chez BELIN
ISBN 2-84245-017-5
Les algorithmes employés dans le module Logo sont très classiques. Vous pourrez les retrouver dans la page dédiée au sujet Maths & Tableur et dans la page Arithmétique et Revolution.

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Page modifiée le 9 mai 2010.                                                                                                     Réponse devinette : Je suis donc né en 1949.