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Le découpage de Dudeney

Henry Ernest Dudeney (10 avril 1857 - 24 avril 1930) était un compositeur britannique de casse-tête numériques et logiques. Il est l'un des compositeurs de casse-tête les mieux connus de son pays. Il est à l'origine des nombres de Dudeney et de la première formulation connue de l'énigme des trois maisons.
Vous trouverez sur Wikipédia une présentation assez ample de son œuvre. J'en ai extrait les trois lignes ci-dessus.

Le découpage du triangle équilatéral en vue de reconstituer un rectangle, voire un carré, ne pouvait évidemment point laisser indifférents les matheux et les matheuses. D'où pléthore de pages web sur ce thème.

Vous trouverez sur le site de Thérèse Eveilleau une très belle page dédiée à ce découpage.

Vous trouverez sur le site "Mathématiques dans l'Académie de Poitiers" une page consacrée à ce fameux triangle. Ce site offre par ailleurs la possibilité de télécharger un fichier GéoPlan.
En général on présente seulement le découpage du triangle offrant par recombinaison un carré, sans doute parce que cette opération de chirurgie conserve la régularité de la forme. Mais d'autres découpages sont possibles, à condition d'accepter des rectangles.

Voici trois illustrations du découpage de Dudeney :
Vers le fichier "
 Vers le fichier " Vers le fichier "
Pour visionner une image dans une taille supérieure, cliquez sur la vignette désirée.

Je vous propose une vision plus dynamique du découpage de Dudeney. Pour en profiter, cliquez ici. Une nouvelle fenêtre doit venir flotter au dessus de votre navigateur. Dans un premier temps, passé un rapide noir, le logo indiquant le chargement d'un module java doit apparaître. Comme ce module pèse un peu plus d'un Mo, il vous faudra patienter quelque peu.. Puis la figure s'affiche. Repérez les trois poignées dispensées ; un petit commentaire explique leurs rôles respectifs. En jouant dessus, vous modifiez le découpage du triangle et constatez immédiatement comment les pièces se réagencent.

Ces images ont toutes été fabriquées à  l'aide du logiciel Geonext. Ce logiciel fait partie de la grande famille des cahiers de brouillon interactif. Il est gratuit et multi-plateforme. La présentation dynamique proposée ci-dessus a, elle aussi, été générée à partir du fichier "dudeney.gxt".
Cliquez sur la vignette ci-contre pour télécharger une archive Zip contenant le fichier geonext et trois images qu'il a permis de réaliser. {Rappel : vous ne pourrez vous servir de mon fichier que si vous avez auparavant installé le logiciel Geonext.}
Rendez-vous sur le site web de Geonext pour le télécharger :  http://geonext.uni-bayreuth.de/
Choisissez [fr] French dans le menu déroulant en haut à droite de la page d'accueil. Il est possible q'une page en anglais apparaisse alors. Ne vous en formalisez point. Dans le cartouche "Download", cliquez sur le nom du système d'exploitation de votre machine (Mac, Linux, Windows) pour lancer le téléchargement.
Quand le téléchargement est terminé, lancez l'installation du logiciel proprement dite. Vous aurez à indiquer que vous souhaitez travailler en français ([FR]). Faites-le. Lancez le logiciel fraichement installé et vérifiez que les commandes sont bien exprimées dans votre langue maternelle.
Une aide en ligne est disponible ici : http://recitmst.qc.ca/geonext/doc/traduction/

Vous trouverez sur la toile de nombreuses propositions pédagogiques profitant de ce logiciel.
Casse-têtes ...
 
Voici trois adaptations du célèbre casse-tête  Triiangle <-> Carré, en deux formats à chaque fois. Format A4 : le motif est dessiné pour occuper le maximum d'une page A4. Format A5 : le motif est reproduit en deux exemplaires sur une page A4. Chaque motif couvre donc une surface A5. Plutôt utile pour préserver les ressources de la planête. Considérer le format A4 comme réservé au maître comme aide au pilotage d'un groupe d'élèves.
Les dessins ont été réalisés avec le module Draw de la suite oOo. Leur précision peut ne pas être la plus extrême, mais elle reste compatible avec celle obtenue au moment du découpage.

Cliquez sur le triangle sous la diagonale de la vignette pour télécharger la planche contenant deux figures identiques  et au format A5. Vers la planche 2 A5 'Du triangle au carré' Vers la planche A4 'Du triangle au carré' Vers la planche 2 A5 'Du carré au triangle ;' Vers la planche A4 'Du carré au triangle;' Vers la planche 2 A5 'Carré ou triangle ;' Vers la planche A4 'Carré ou triangle;' Cliquer sur le triangle au dessus de la diagonale de la vignette pour télécharger la planche au format A4 présentant une seule figure..
Découpage d'un triangle équilatéral (en vue d'obtenir un carré). Découpage d'un carré (en vue de retrouver le triangle équilatéral). Présentation vague des 4 pièces du puzzle. Certaines devront êtres retournées.



... et problème pour finir

Le texte de ce problème est repris du joli livre "mathématiques d'école nombres, mesures et géométrie" par Daniel Perrin chez Cassini Editeur ISBN 2-84225-057-5.

On le trouvera sous sa forme originale en pages 247 à 249 de cet opus. C'est une belle illustration de la notion d'aire et de sa conservation par chirurgie (découpage et recollement des pièces soumises à des isométries positives).

C'est en fait une application du théorème de Bolyai selon lequel on peut toujours trouver un puzzle pour passer d'un polygone à un autre de même aire. Sur ce sujet voir les pages 222 à 227 du même livre.		 ISBN 2-84225-057-5
Sur la toile, consulter le site Kangourou et les pages dédiées à cette problématique, très bien réalisées.

Daniel Perrin rappelle (page 302 de l'opus cité) que le théorème de Bolyai ne se prolonge pas à l'espace 3D : alors que deux polygones de même aire sont équivalents par chirurgie, il n'en va pas de même des polyèdres.
L'extension du théorème de Bolyai à la troisième dimension correspond au troisième des problèmes proposés par D. Hilbert en 1900 lors du second congrès international des mathématiciens tenu à Paris en 1900. Il fut très vite résolu, contrairement à d'autres qui continuent de résister.
Sur la liste des problèmes de Hilbert, consulter Wikipedia  ou ChronoMath  (à condition d'accepter quelques incrustations publicitaires) ou encore Math93.

Vous trouverez ci-dessous le problème proposé par D. Perrin dans une version très légèrement modifiée. Si vous le préférez, vous pouvez aussi charger ce texte au format PDF en cliquant sur la vignette ci-contre. J'ai injecté dans ce PDF des éléments de solution assez longuement commentés..

Mais place au problème proprement dit (les figures fournies ici sont statiques. Elles sont empruntées au livre de Daniel Perrin).		 Vers le topo du pb

II s'agit d'un découpage du triangle équilatéral ABC permettant de le transformer en rectangle, voire en carré, selon le modèle indiqué par les figures (a) et (b). Dans un premier temps, il est interdit de regarder les figures (c) et (d).
Les deux premières figures
1)  On suppose le découpage effectué selon le modèle des figures (a) et (b). Montrer les faits suivants :
    i)  B' et C' sont les milieux de [AB] et [AC],
    j)  DE=1/2BC,
    k) KE = HC',
    l)  DH = KB'.
2)    Montrer que DEB'C' est un parallélogramme. En déduire que les triangles BC'D et CB'E ont deux côtés et un angle égaux donc sont isométriques et qu'on a BD = EC. Les points D et E sont donc au quart et aux trois quarts de [BC] et les droites (C'D) et (B'E) sont perpendiculaires à (BC).

Regardez maintenant attentivement les figures (c) et (d). Êtes-vous toujours aussi sûr de votre raisonnement à la question 2) ? Où est l'erreur ?

Les deux autres figures du problème.

On part maintenant du triangle équilatéral ABC et on place un point D sur [BC] , plus près de B que de C. On porte ensuite E sur le même segment avec DE = 1/2BC. On joint D au milieu B' de [AC] et on appelle H et K les projetés orthogonaux de C' et E sur [B'D].
3) Montrer qu'on obtient bien un rectangle en découpant la figure comme indiqué sur les figures (c) et (d).
4) Calculer, en fonction du côté a du triangle, les longueurs des côtés du rectangle obtenu dans le cas où les points D et E sont dans la position symétrique.
Ce rectangle est-il un carré ?
5)    Déterminer la position de D pour laquelle on obtient effectivement un carré. (Il n'est pas interdit d'être astucieux et de penser à l'aire !) Construire à la règle et au compas le point D convenable.
Bonne résolution. Ne regardez pas trop vite la solution exposée dans le fichier PDF !
Version en date du 10 décembre 2010 [Retour Haut de la fenêtre]